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Jean-Luc PLANET

Tous nos remerciements à Jean-Luc PLANET pour l'ensemble des documents qu'il nous a transmis à l'issue du stage.

•  La pédagogie du cycle 3 reste appuyée sur l'expérience concrète (ce qui ne veut pas dire qu'elle doit s'y cantonner !)

•  La maîtrise du langage est "la priorité des priorités", elle est présente dans toutes les activités

•  Les connaissances et les savoir-faire développés à l'école élémentaire doivent préparer les élèves à bénéficier au mieux de l'enseignement donné au collège, en mathématiques et dans d'autres disciplines, notamment scientifiques.

•  Sans anticiper sur les compétences développées au collège, il s'agit de construire les bases de leur acquisition. .

Pour toutes les disciplines du primaire l'inflexion majeure c'est la dimension culturelle, y compris en mathématiques. Le but est donc de donner aux élèves une culture mathématique solide qui leur soit utile pour le collège mais aussi pour leur vie en société.

Comment la caractériser ?

La culture, d'après le Robert, " c'est l'ensemble des connaissances acquises qui permettent de développer le sens critique, le goût, le jugement ".

Les mathématiques doivent donc

•  permettre de se débrouiller dans la vie courante
•  fournir des outils intellectuels utiles au citoyen
•  participer à la formation générale d'un jeune
•  s'insérer dans le champ de l'histoire des connaissances
•  initier à une pratique scientifique
•  permettre une réflexion sur le "vrai" et le "faux"

•  permettre de se débrouiller dans la vie courante
Les mathématiques fournissent des outils pour agir, pour choisir, pour décider dans la « vie courante ». Calculs de prix, augmentations, prévisions… les exemples abondent.

•  fournir des outils intellectuels utiles au citoyen
Comme moyen d'expression, avec leur langage propre (schémas, graphiques, figures, symboles…), elles complètent et enrichissent d'autres modes de communication. Les résultats qu'elles fournissent, les données qu'elles permettent de représenter doivent faire l'objet d'un examen critique : que l'on songe, par exemple, à l'information apportée par un graphique selon l'échelle qui a été choisie ou à la signification d'une même moyenne pour des ensembles de données réparties de manières très diverses

•  participer à la formation générale d'un jeune
Comme dans d'autres domaines de savoir, la confrontation à de véritables situations de recherche (à la mesure des élèves) pour lesquelles différents types de démarches sont possibles favorise l'initiative, l'imagination et l'autonomie des élèves.

La nécessité de formuler des résultats et des démarches, de les communiquer aux autres élèves participe au développement des capacités à s'exprimer oralement et par écrit.

La confrontation des résultats et des démarches dans des moments de débat, où la classe s'apparente à une petite « communauté mathématique », permet de développer les compétences dans le domaine de l'argumentation.

Elle oblige à considérer d'autres points de vue et donc contribue au développement de la socialisation, par l'écoute et le respect de l'autre, dans la mesure où la détermination du vrai et du faux y est plus facilement indépendante des préjugés et des idéologies.

Dans un autre registre, le tracé de figures, la réalisation de solides sont des occasions de développer l'attention, le soin et l'habileté manuelle.

•  s'insérer dans le champ de l'histoire des connaissances
La mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position comparée à d'autres systèmes, apparition des nombres décimaux, du système métrique, évolution des moyens de calcul…) contribue également à enrichir cette dimension culturelle

•  initier à une pratique scientifique
Faire des mathématiques, penser des objets «abstraits » comme les nombres, les figures c'est commencer à s'approprier des éléments de la culture scientifique. Cette culture se caractérise certes par des connaissances, mais elle s'exerce principalement à travers les activités de résolution de problèmes et les débats auxquels peuvent donner lieu les solutions élaborées par les élèves.

•  permettre une réflexion sur le "vrai" et le "faux"
Faire des mathématiques ce sera l'occasion de débattre du « vrai » et du «faux» en utilisant des connaissances partagées, et en évitant l'argument d'autorité. Ces situations d'argumentation offrent une première occasion de sensibiliser les élèves à la question du statut particulier de la preuve en mathématiques. Si dans certains cas, celle-ci relève d'une expérience, dans d'autres cas elle s'appuie sur des connaissances mathématiques : ainsi, au cycle 3, les élèves peuvent être convaincus que 3,5 est plus grand que 3,28 parce que dans 3,5 il y a 50 centièmes (sous la forme 5 dixièmes) alors qu'il n'y a que 28 centièmes dans 3,28.

Enfin on doit noter une attente : le lien entre les différents champs du savoir

Si elles sont un outil pour agir au quotidien, les mathématiques doivent également offrir les ressources utiles à d'autres disciplines qui, en retour, leur apportent un questionnement et leur permettent de progresser. Ainsi, l'articulation avec d'autres domaines de savoir doit-elle être pensée, dès l'école élémentaire, dans un double mouvement.

Donnons en quelques exemples. Le travail fait en histoire sur une frise du temps peut être une occasion d'utiliser et d'enrichir des acquis antérieurs sur le placement de nombres sur une ligne graduée. À l'inverse, les questions posées à l'occasion de l'étalonnage d'un verre doseur cylindrique peuvent être le point de départ d'un travail sur la proportionnalité entre masse et hauteur de liquide (sans omettre d'évoquer les imprécisions dues aux instruments de mesure et à leur utilisation). La notion d'échelle peut être précisée à l'occasion de l'étude de cartes en géographie.

L'analyse d'oeuvres artistiques en vue de réaliser des projets sur les mêmes principes peut conduire à en mettre en évidence des structures géométriques. Le projet de réalisation d'une maquette d'un objet met en oeuvre des connaissances en géométrie, dans le domaine de la mesure ou dans celui de la proportionnalité et nécessite d'organiser les calculs à effectuer. De nombreuses activités proposées à l'école élémentaire offrent ainsi l'occasion d'une véritable approche pluridisciplinaire qu'il s'agit d'exploiter sans dénaturer le sens de ces activités par une manipulation artificielle de concepts.

 En 6ème tous ces enjeux sont repris et amplifiés, s'y rajoute un rappel

"A l'école primaire, une proportion importante d'élèves s'intéresse à la pratique des mathématiques et y trouve du plaisir. Le maintien de cet intérêt pour les mathématiques doit être une préoccupation du collège. Il est en effet possible de se livrer, à partir d' un nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. Une telle activité, accessible aux élèves, a une valeur formatrice évidente et leur permet d'acquérir les savoirs et savoir-faire qui leur seront nécessaires ."

Voir le document intitulé "Quelques réflexions autour des évaluations sixième 2005" [document word 59ko]

Régine DOUADY (IREM paris VII) a caractérisé ces situations-problèmes en mathématiques :

Voici ces caractéristiques et leurs commentaires.

1 - L'élève doit pouvoir s'engager dans la résolution du problème . L'élève peut envisager ce qu'est une réponse possible du problème.
Il ne faut pas que les élèves restent "secs" sinon ils n'investiront pas leurs connaissances, ils ne pourront pas percevoir qu'elles sont insuffisantes.

2- Les connaissances de l'élève sont, en principe, insuffisantes pour qu'il résolve immédiatement le problème.
Sinon, il n'y a pas d'acquisition nouvelle, il y a réinvestissement de connaissances anciennes (ce qui est évidemment utile, mais ce n'est pas l'objectif ici).

3 - La situation-problème doit permettre à l'élève de décider si une solution trouvée est convenable ou pas .
Cette caractéristique est essentielle : une fois que l'élève a investi ces connaissances, il faut qu'il prenne conscience de leur insuffisance, sinon, d'après le principe d'économie, il ne les fera pas évoluer, il cherchera seulement à les adapter.
Cette insuffisance, c'est lui et lui seul qui peut en prendre conscience. Elle se constate par le fait que la réponse trouvée est fausse ou que la méthode utilisée est trop lourde.

4 - La connaissance que l'on désire voir acquérir par l'élève doit être l'outil le plus adapté pour la résolution du problème au niveau de l'élève.
Cette condition est évidente compte tenu de ce qui a été dit précédemment, mais elle n'est pas toujours facile à obtenir. L'élève peut découvrir un outil qui s'avère adapté pour résoudre le problème, mais qui ne correspond pas à la connaissance visée.
Une analyse à priori du problème est nécessaire : "que va faire l'élève face au problème ?"
Les données du problème, le matériel que l'on met à sa disposition etc ... sont autant de variables qui risquent d'influencer les stratégies qu'ils vont mettre en place
Cette construction n'est souvent pas aussi simple. Dans la pratique, pour certaines situations-problèmes, il nous arrive, après que les élèves aient perçu l'insuffisance de leur modèle, de les aider à construire le nouvel outil. Au bout d'un moment, le blocage des élèves n'est plus tenable pour l'enseignant.
Quel est l'effet de cette aide ? Ne retombe t-on pas dans la conception des "marches d'escalier" ? Il semble qu'ici une différence fondamentale avec cette conception est que l'élève a pu prendre conscience au préalable de l'insuffisance de ces conceptions. Ce temps n'existe pas dans la pratique des "marches d'escalier" Ces situations-problèmes demandent toujours une réflexion pour tenter de les améliorer.

Régine DOUADY propose pour cela une cinquième caractéristique.

Le problème peut se formuler dans plusieurs cadres entre lesquels on peut établir des correspondances (par exemple cadre physique, cadre géométrique, cadre graphique).

R. DOUADY prend l'exemple suivant : parmi tous les rectangles de périmètre donné, quel est celui qui a l'aire maximale ? Ce problème est formulé dans le cadre géométrique. Il peut être aussi formulé dans le cadre graphique ou numérique.

Des exemples en maths :

1) objectif : prendre conscience qu'il y a indépendance entre l'aire et le périmètre d'une figure géométrique; niveau CM
"Quand on augmente le périmètre d'un rectangle, il est logique de penser que son aire va augmenter, est-ce toujours vrai ?"

 2) Objectif : affiner le concept de fraction, niveau CM
A partir du texte de Pagnol (Marius) donner le passage sur la confection du mandarin-citron-curaçao.
Puis poser les questions suivantes : "Qui a raison? Comme tous les deux sont têtus, comment tenteriez-vous de convaincre celui qui se trompe ?"

Travaux des stagiaires : Ateliers autour de l'utilisation de l'évaluation d'entrée en 6ème 2005 [document word 52ko]

Travaux des stagiaires : Travail autour d'une situation problème pour introduire la multiplication des décimaux [document word 61ko]

Dans "exploiter l ' évaluation 6ème" publié dans Edusarthe en 2004 on trouve une expérimentation autour du calcul mental : http://www.ac-nantes.fr:8080/ia72/publications/edusarthe/index.php

Le groupe de réflexion a décidé de faire une expérimentation auprès d'un panel d'élèves de CM1, CM2 et 6e.

Plus que les scores de réussite, ce sont les stratégies utilisées que nous avons étudiées. Il faut noter que les scores de réussite augmentent avec la fréquentation du calcul réfléchi (nous avons pu le mettre en évidence au travers des résultats de trois sixièmes dont une classe où il n'était pas fait de calcul réfléchi), avec l'utilisation ou non de stratégies pertinentes.
Pour que les élèves puissent s'approprier ces stratégies pertinentes il est non seulement nécessaire qu'ils les aient rencontrées et confrontées mais il faut aussi qu'ils les mémorisent , il doit donc y avoir « un » travail de généralisation mis par écrit suivi de calculs d'entraînements.
Cet écrit, étant associé à la classe et au calcul proposé, sera une mise en mots ou une phrase mathématique ou les deux.

Objectif : Faire prendre conscience qu'il est nécessaire d'enseigner des stratégies de calcul pour que les élèves réussissent en calcul mental à l'école et au collège et en calcul algébrique dès la 5e.

Faire dire, écrire les procédures utilisées.
Faire discriminer les stratégies justes des stratégies fausses.
Faire découvrir ou utiliser l'usage des parenthèses.
Mettre en place le vocabulaire nécessaire pour se comprendre (terme…).
Faire remarquer qu'il peut y avoir plusieurs stratégies pertinentes pour un calcul, qu'il peut y avoir plusieurs solutions pour résoudre un problème et qu'il faut donc rechercher la procédure la plus efficace ou la plus pertinente (pour soi).

Matériel

L'élève utilise deux feuilles différentes.

1ère séance :
La consigne suivante est donnée aux élèves : « Je vais vous dicter 5 calculs. Je vous lirai chaque calcul deux fois. Puis, je vous laisserai 15 secondes pour répondre. Vous devez écrire directement le résultat sans écrire l'opération en ligne. »

Les calculs proposés :

298 + 10 ; 38 + 9 ; 158 + 22 ; 60 – 19 ; 566 : 2.

Travail individuel, très rapide. L'enseignant ne répond à aucune question.
Les feuilles sont relevées et gardées par l'enseignant.
Juste après, la consigne suivante est donnée aux élèves : « Je vais écrire au tableau les 5 calculs de tout à l'heure et vous allez justifier par écrit vos calculs. »
Travail individuel. L'enseignant ne répond toujours pas aux questions.
Les feuilles sont relevées et l'enseignant constitue des groupes de 4, hétérogènes en particulier sur les stratégies et les résultats.

2e séance :
En groupe, la consigne suivante est donnée : « Je vais vous redonner vos feuilles des 2 dernières séances et vous devez comparer vos fiches - résultats et vos fiches - justifications. Chaque groupe devra écrire sur une feuille deux stratégies qui lui semblent efficaces et le résultat correspondant. Un élève de chaque groupe viendra présenter le travail. »

Autres séances :
Deux calculs sont travaillés lors de chaque séance.
Un élève de chaque groupe vient présenter au tableau le travail de son groupe. Pour chaque calcul, toutes les stratégies sont explicitées une à une par la classe. L'enseignant est en retrait pour laisser le débat s'effectuer et noter pour préparer la mise au point.
Puis les propriétés conjecturées, vérifiées sont dites puis écrites en mots et/ou en phrases mathématiques et à retenir.

Résultats
Cette activité a été proposée au cours du mois de mars à 10 élèves de CM1, à 56 élèves de CM2 et à 3 groupes de 6ème (14 élèves, 22 élèves, 24 élèves).

1er calcul : 298 + 10

Il esr remarqué qu'il n'y a que des additions et que l'on peut déplacer les parenthèses ou les termes sans changer le résultat du calcul.
Les parenthèses permettent d'expliquer les décompositions ou les recompositions faites ou, à l'occasion, de les introduire dans l'action en leur donnant du sens.

Les autres calculs sont également analysés les uns après les autres.

1) Un peu de géométrie (Fichier Evariste)
Sur une même feuille on dessine deux cercles et trois droites dont deux sont parallèles.
On veut obtenir le maximum de points d'intersection (entre droites, entre cercles, entre droites et cercles)
Quel est le plus grand nombre de points d ' intersection que l'on peut obtenir ?

2) Le renard et les raisins (Rallye Poitiers)
Un renard a mangé 100 grains de raisins pendant une période de 5 jours. Chaque jour, il a mangé six grains de plus que le jour précédent.
Quel est le nombre de grains mangé le premier jour ?

3) Le nez de Pinocchio ( ?)
Le nez de Pinocchio mesure 5cm de long. Quand Pinocchio dit un mensonge , la fée bleue allonge son nez de 3cm, mais quand il dit la vérité, elle le raccourcit de 2cm.
A la fin de la journée, Pinocchio a dit 7 mensonges et son nez mesure 20 cm de long.
Combien de fois a-t-il dit la vérité à la fée au cours de la journée ?

4) Les Biscuits (?)
100 biscuits sont répartis dans trois assiettes:

• Dans la première et la deuxième il y a en tout 62 biscuits;
• Dans la deuxième et la troisième, il y a en tout 53 biscuits.

Combien y a-t-il de biscuits dans chaque assiette ?

5) Les lianes de Tarzan (?)
Dans la forêt, Tarzan se déplace de liane en liane. Il existe deux sortes de lianes : les courtes permettent de faire des sauts de 4m; les longues permettent de faire des sauts de 7m. Tarzan veut arriver précisément sur une pierre située à 103 m du bord du marécage où il se trouve. Quelles lianes utilise-t-il ?

6) Trouve les quatre chiffres qui manquent de façon à ce que la phrase écrite dans le cadre soit vraie :

Dans ce cadre il y a
… fois le chiffre 1
… fois le chiffre 2
…fois le chiffre 3
…fois le chiffre 4

(IREM de Lyon)

7) On dispose de trois bidons pouvant contenir respectivement 8l, 5l et 3l.
Au départ celui de 8l est plein d'eau, les autres sont vides.
Comment faire pour obtenir exactement un litre d'eau ? (IREM de Lyon)

8) Un Chat se déplace sur une piste numérotée de 1en1 à partir de 0.
Il fait des bonds de 4 cases ou des bonds de 6 cases, il part toujours de 0. Il peut avancer ou reculer.

• La souris est sur la case 94, si le chat est pressé, quel est le nombre minimum de bonds qu ' il doit faire pour la dévorer ? Sinon proposer plusieurs solutions.
• Que devrait faire une souris rusée pour échapper à la mort ?
• Et si le chat ne pouvait pas reculer, qu'est-ce que cela changerait ? (d'après Cap math CM2 )

9) Les bons vœux de CLAUDE (Concours scientifique Edouard LUCAS)
Claude, élève d'une classe de CM, sera élève de 3ème en 2009. Il vous demande, s'il écrit jusqu'au dernier jour de 2009, chaque jour une fois et une fois seulement en respectant bien l'écriture de la date sous la forme JJ MM AAAA combien de zéros il aura écrits depuis le 01 01 2005 .

Une grande quantité d ' adresses (mises à jour) sur les problèmes ouverts est recensée sur le site : http://perso.wanadoo.fr/pernoux/problemes.htm

Voir le document " La géométrie en fin de cycle 3 et en 6ème " [document word 47ko]